DESIGUALDADES E INTERVALOS

• Desigualdad:

"Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra"

Los signos de desigualdad son >, que se lee mayor que, y < que se lee menor que. Así 5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4< -2 se lee -4 menor que -2.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

• Intervalo

"Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo"

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas en:

Intervalo abierto: Se representa con el signo de paréntesis en ambos lados que indica la exclusión de los limites (a,b) y significa que es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b y que a su vez se representa con círculos sin relleno en la recta numérica:

Intervalo cerrado: Se representa con el signo de corchetes en ambos lados que indica la inclusión de los límites [a,b] y que significa que es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b y que a su vez se representa con círculos rellenos en la recta numérica:

Intervalo semi-abierto:

• por la izquierda: Es aquel intervalo que indica que por el lado izquierdo es abierto y por el lado derecho cerrado, se denota de la siguiente manera (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b, que a su vez se representa con círculos vacios por la izquierda y círculos rellenos por la derecha en la recta numérica:
  

• por la derecha: Aquel intervalo que indica que por el lado derecho es abierto y por el izquierdo cerrado, se denota [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, que a su vez se representa con círculos rellenos por la izquierda y círculos vacios por la derecha en la recta numérica:

Repaso del dia 28-08-08

¿A qué propiedad corresponden las siguientes expresiones?

	PROPIEDAD
(-2) + (2) = 0	Inverso (suma)
3(√5 + 1) = (√5 + 1) 3	Conmutativa
√13 + 0 + √13	Identidad (suma)
Si X =√3 entonces √3 = X	Reciprocidad (igualdad)
√2 = √2	Identidad (igualdad)
(x +2y) + Z = Z + (x +2y)	Conmutativa (suma)

Demostrar o expresar los siguientes números como racional, entero o decimal si es posible.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

• IGUALDAD:

1. Axioma de identidad: a = a
2. Axioma de reciprocidad: si a=b, tenemos que b=a
3. Axioma de transitividad: si a=b y b=c, tenemos que a=c
   

• SUMA O ADICIÓN:

1. Axioma de conmutatividad: a + b = b + a
2. Axioma de asociatividad: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. Axioma de distributividad: a(b+c) = ab + ac
4. Axioma de identidad: a + 0 = 0+ a= a
5. Axioma inverso: a + (-a) = 0
6. De cerradura: Si a, b ∈ R ------- a + b ∈ R
7. Axioma de uniformidad: La suma de dos números es siempre igual, es decir, única, si a=b y c=d, tenemos que a + c = b + d
   

• MULTIPLICACIÓN:

1. Axioma de conmutatividad: ab = ba
   
2. Axioma de asociatividad:(ab)c = a(bc)
3. Axioma de identidad:(a)(1) = (1)(a) = a
4. Axioma de existencia del inverso: (a)(1/a) = 1
5. Neutro:(b)(0) = 0
6. Cerradura: Si a, b ∈ R -------- ab ∈ R
7. Axioma de uniformidad: El producto de dos números es siempre igual, es decir, único, así si a=b y c=d, tenemos que ac = bd
   
   

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

• Números reales (R):

  Conjunto formado con la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.
  

• Números racionales (Q):

  Conjunto de números que se pueden representar como el cociente de dos números enteros: a/b , b ≠ 0. Los representamos con la notación Q (del inglés, quotient, "cociente") "Un número es racional si, y solo si su expresión decimal es periódica"
  

• Números irracionales (Q'):

  Conjunto de números que tienen una representación decimal infinita no periódica. Son los números que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros.
  

• Números enteros (Z):

  Es el conjunto de los números naturales, sus negativos y el cero. Los representamos con la notación Z (del alemán, zahlen, “números”) viene de parte de los alemanes ya que fueron ellos los primeros en utilizar dicho conjunto.

• Números naturales (N):

  Es el conjunto de los números para contar. Estos números van desde el 0 hasta el infinito. Se les llaman naturales porque fueron los primeros que utilizaron los seres humanos para contar objetos.

  El siguiente mapa conceptual ilustra como queda integrado el conjunto de los números reales.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS REALES

LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios (según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 2000-1800 A.C.) y los egipcios (como se ve en el papiro Rhind) conocían las fracciones.

La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los números fraccionarios.

EL NÚMERO RACIONAL Y EL NÚMERO IRRACIONAL

Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cuándo y cómo surgieron los números irracionales.

Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los números irracionales. Los historiadores de la matemática, están de acuerdo en atribuir a Pitágoras de Samos (540 A.C.), el descubrimiento de estos números, al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. Más tarde, Teodoro de Cirene (400 A.C.), matemático de la escuela pitagórica, demostró geométricamente que √2, √3, √5, √7, etc., son irracionales. Euclides (300 A.C.), estudió en el Libro X de sus "Elementos", ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables, y los números que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales.

Como consecuencia de la introducción de los número irracionales, consideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto de los números enteros. Definimos el número racional como aquel número que puede expresarse como cociente de dos enteros. Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.

Llamamos números reales al conjunto de los números racionales e irracionales.

Biografías de algunos personajes que introdujeron el concepto de números reales:

PITAGORAS DE SAMOS (585-500 A.C.)

Célebre filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponte. Después de realizar sus primeros estudios en su ciudad natal viajó por Egipto y otros países de Oriente. A su regreso fundó la Escuela de Crotona, que era una sociedad secreta de tipo político-religioso, la cual alcanzó gran preponderancia. Fue el primero en colocar a la base de las especualciones filosóficas, los conceptos fundamentales de la matemática. Hizo del número el principio universal por excelencia.

EUCLIDES (365-275 A.C.)

Uno de los más grandes matemáticos griegos. Fue el primero que estableció un método riguroso de demostación geométrica. La Geometría construida por Euclides se mantuvo incólume hasta el siglo XIX. La piedra angular de su geometría es el Postulado: "Por un punto exterior a una rect sólo puede trazarse una perpendicular a la misma y sólo una". El libro que recoge sus investigaciones lo tituló "Elementos", es conocido en todos los ámbitos y ha sido traducido a los idiomas cultos. Estudió en el Libro X de sus "Elementos", ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables, y los números que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales.

TEODORO DE CIRENE (456-398 A.C.)

Teodoro fue profesor de Platón, es recordado por su contribución a las matemáticas con el desarrollo de los números irracionales. Teodoro era también uno de los principales filósofos en la escuela de filosofía moral de Cirene. Creía que ninguno de los placeres y dolores eran buenos ni malos. Creía que la alegría y el juicio eran suficientes para la felicidad.